最近的高中生有点猛。前有 17 岁高中生证明数学界存在 27 年难题，再有高中生论文入选 AI 领域顶会 NeurIPS，还有高中生用 10 种方法花式证明勾股定理！

本周，量子杂志又介绍了另一个早早就在数学领域展露头角的三人高中生团队：Niko Voth（右上）、Joshua Broden（右下）和 Noah Nazareth（最左）。

在他们的导师、多伦多大学数学家 Malors Espinosa（以下简称 Malors） 的帮助下，他们证明了一条关于扭结和分形（knots and fractals）的新定理。

2021 年秋天，Malors 开始设计一个特殊的数学问题。与任何好的研究问题一样，这个数学问题必须发人深省，解决方案也要非同寻常。当时还是多伦多大学数学研究生的他希望高中生能够证明这个数学问题。

多年来，Malors 一直在为当地的高中生举办暑期讲习班，教他们数学研究的基本思想，并向他们展示如何写证明。不过，他的一些学生似乎准备做更多，他们想要找出在没有答案的情况下做数学意味着什么。因此，这些学生需要正确的问题来指导。

后来，Malors 在阅读一本关于混沌的教科书时终于找到了这样的问题。在书中，他发现了一个熟悉的物体：分形或自相似形状，学名为门格海绵（Menger sponge），它的结构简单但优雅。

首先将立方体分成类似魔方的形状，接下来移除正中央的立方体以及六个面的中心立方体，最后对剩下的 20 个立方体重复此过程。你很快就会明白为什么得到的分形被称为海绵：随着每次迭代，其孔隙会成倍增加。

选择门格海绵作为高中生数学「试炼场」

自从数学家 Karl Menger（卡尔・门格尔）在近一个世纪前提出分形海绵以来，它就一直吸引着专业和业余数学家发挥想象力，原因之一是它看起来很酷。

通过从起始立方体中移除越来越小的立方体，可以构造出门格海绵。

2014 年，数百名数学爱好者参加了一项名为「MegaMenger」的全球性活动，用名片制作了重达 200 磅的海绵。由于其多孔的泡沫状结构，海绵还被用来模拟减震器和奇特的时空体形式。

最重要的是，分形具有各种违反直觉的数学特性。例如继续拔出更小的碎片，最初的立方体就会变成完全不同的东西。经过无数次迭代后，体积会缩小到零，而其表面积会无限大。这就是分形的奇特之处：徘徊在维度之间，占据空间但又没有真正填满它。

1926 年，Menger 首次定义了海绵，还证明了任何可想象的曲线（包括简单的线条和圆圈、看起来像树或雪花的结构、分形粉尘）都可以变形，然后嵌入海绵的某个地方。它们可以沿着海绵缠绕的轮廓蜿蜒前行，而不会离开海绵表面，不会撞到洞，也不会相互交叉。Menger 写道，「这种海绵是一条通用曲线。」

但 Malors 后来意识到，这又引出了一个新问题。Menger 虽然已经证明，你可以在海绵中找到一个圆。但在某种意义上，与圆等价的物体又如何呢？

考虑数学上的一个扭结：一根绳子被扭成一团，然后两端闭合形成一个环。从外面看，它可能看起来像一团乱麻。但一只蚂蚁沿着它爬，最终会回到起点，就像在圆上一样。这样一来，每个扭结都等价于圆，或「同胚于」圆。

每个扭结都「同胚于」圆，这意味着可以将点从一个点映射到另一个点，同时满足一组简单的条件。

不过，Menger 的证明没有区分同胚曲线，他的证明仅保证可以在海绵中找到圆，而不是所有同胚扭结中都可以找到。因此，Malors 想证明可以在海绵中找到每个扭结。

这个问题似乎激发了年轻学生们的兴趣，他们最近在 Malors 的研讨会上学习了扭结，玩得很开心。谁不喜欢分形呢？问题在于是否可以完成自己的证明。「我真的希望有一个答案，」Malors 表示。

最终，在与 Malors 每周进行 Zoom 会议几个月后，他的三名高中学生，即 Niko Voth、Joshua Broden 和 Noah Nazareth，证明了所有扭结确实都可以在门格海绵中找到。另外，他们还发现，另一种相关的分形也可能存在同样的情况。

论文标题：Knots inside Fractals

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.03639

对此，北卡罗来纳州立大学拓扑学家 Radmila Sazdanovic 表示，这是一种巧妙的把事物组合在一起的方法。在重新审视 Menger 百年历史的定理时，Malors 显然提出了一个以前没人想过要问的问题，这是一个非常新颖的想法。而且，他的三名学生完成了证明。

从另一个角度思考扭结

多年来，Broden、Nazareth 和 Voth 参加了 Malors 的几次夏季研讨会。在早期的研讨会上，当 Malors 第一次教他们扭结时，14 岁的 Voth 被深深震撼了。

然而，他们遇到了一些极其复杂的 Menger 问题，这与他们以前的作业不同，没有现成的答案可以参考。

Nazareth 表示这个问题让他感到紧张，因为这是他第一次做没人知道答案的事情，连 Malors 也不知道。「也许根本就没有答案。」

他们的目标就像是要将一根显微针穿过一团尘土，这团尘土是海绵在多次移除材料后的残余物。这项任务极度复杂，他们需要把针插到正确的地方，打结的过程必须极为精准，不能出错，也不能偏离原本的结构。任何一个扭结如果线漂浮在海绵的空洞里，就意味着失败。

这不是一件容易的事。但有一种方法可以简化它。扭结可以在一张平整的纸上以称为弧表示（arc presentation）的特殊图表来描绘。要创建一个扭结，首先要了解扭结的线如何在彼此前面或后面穿过。然后应用一组规则将这些信息转换为网格上的一系列点。网格的每一行和每一列都将包含两个点。

用水平线和垂直线连接这些点。当两条线段相交时，将垂直线段画在水平线段前面。

每个结都可以用这种网格状的方式表示。当学生们考虑交叉线段的图形时，他们想到了门格海绵的表面。将弧表示的水平线放置在海绵的一面，将垂直线放置在相反的一面，这就足够简单了。

难点在于如何连接这个扭结 —— 如何将其拉伸回三维空间。

数学家们转向了所谓的康托尔集，构造这个集的步骤是：从一个线段开始，将其分成三等份，去掉中间的三分之一，然后对剩下的两个部分重复相同的操作，依此类推，直到无限进行下去。最终，你将只剩下一些散落的点。

康托尔集和门格海绵的结构有相似之处，都是通过去除中间部分或某些区域逐渐构建出来的。他们意识到，当海绵的面上的点的坐标都在康托尔集中的时候，这些点的位置上不应该有空洞。更重要的是，由于海绵具有重复的设计结构，这些点背后的位置也不应该有空洞。因此，扭结可以在海绵的结构中自由地穿过，而不会不小心脱离海绵的物质。

那么，剩下的就是让学生证明他们总是可以压缩或拉伸给定扭结的弧表示，以便其所有角都与康托尔集合中的坐标对齐。

为了完成最后一步，Broden、Nazareth 和 Voth 采取了一个捷径。他们证明了可以变形任何弧线表示法，使得其垂直和水平线段交叉的点都位于康托尔集中。他们可以始终将一个给定的扭结嵌入门格海绵的某一迭代中。

现在他们已经解答了 Malors 原本的问题，他们还想更进一步。他们已经开始研究是否所有扭结都可以嵌入到四面体版本的门格海绵中：

Broden 说：「这让人非常恼火。」如果没有将这些面直接对齐，他们将扭结穿过该分形的方法就不再有效。

扭结度量

Malors 表示，正是在这个阶段，学生们了解到了数学研究的痛苦 —— 数学的很大一部分工作内容都是寻找有希望的前进之路，然后遭遇失败。「我们面对的是数学，而数学并不怜悯任何人。」他说 ，「不过对于高中生来说，通常还不会受到这种伤害。」

Malors 之前以为不可能在四面体中找到所谓的三叶结。在一次视频通话中，这三名学生反驳了这一观点。他们回忆说，离开会议时感到沮丧和失望。但他们决定坚持自己的直觉。

几周后，令 Malors 惊讶的是，他们带着一个结果回来了：他们找到了一种新方法，可将三叶结的弧表示映射到四面体上。之后他们证明，所有「扭结面包（pretzel）」形式的扭结都能做到这一点（三叶结也属于此类别），但对于其他类型的扭结而言，这个问题仍未得到解决。

各种扭结面包，图源：维基百科

Malors 推测，这些学生的方法也许能提供更广泛适用的测量分形复杂性的方法。并非所有分形都允许各种扭结。也许可以根据它们可以容纳和不能容纳的扭结类型来更好地理解它们的结构。

至少，这项研究能启发新的艺术成果，类似于 2014 年的 MegaMenger 竞赛。弗吉尼亚联邦大学的扭结 结理论科学家 Allison Moore 说：「看到它被用物理材料建造出来真是太好了。」

与此同时，Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth 全都已经高中毕业。仅有 Joshua Broden 决定继续研究四面体问题（当他不忙于大学课程时），但他们三个人都在考虑从事数学研究工作。

Nazareth 说：「如果能为比自己更伟大的事情、为真理做出贡献，会感觉很有意义。」而这一切的起点是问出那个正确的问题。

原文链接：https://www.quantamagazine.org/teen-mathematicians-tie-knots-through-a-mind-blowing-fractal-20241126/